Autor: Thomas Block
Dies ist eine Sammlung von mathematischen Beschreibungen und Anleitungen zu den Gebieten Mathematische Grundlagen, Computergrafik.
Autor: Thomas Block
Sind an1,an2ann n Vektoren der Dimension n, so ordnet die Determinante
| (1.1) |
den Vektoren genau eine reelle Zahl d zu.
Berechnung der Determinante:
Streicht man die i-te Zeile und k-te Spalte der Determinate D, so wird die Determinate der Ordnung (n-1) aus den
restlichen Elementen als Unterdeterminante Dik bezeichnet. Der Ausdruck Aik = (-1)i+kDik heißt dann adjungierte
Unterdeterminante.
Damit lässt sich die Determinate D berechnen zu:
| (1.2) |
implizierte Summierung |
||
xi | = | aij ⋅ yj |
mit i | = | 1m, j = 1n |
| (1.3) |
Mit
| (1.4) |
gilt:
Konst. Faktor: | (c) = m ⋅ (a), | cij = m ⋅ aij |
Addition: | (c) = (a) + (b), | cij = aij + bij |
Multiplikation: | (c) = (a) ⋅ (b), | cik = aij ⋅ bjk |
Transponierte: | (aij)T = aji | |
((a) ⋅ (b)(x))T | = (x)T (b)T ⋅ (a)T | |
Inverse (m=n): | (a) ⋅ (a)-1 | = Einheitsmatrix (e) |
(a)-1 = (c)T ∕det(a) | mit cij = (-1)i+j ⋅ detij(a) | |
Hierbei ist detij die Determinante mit ausgestrichener Zeile i und Spalte j
| ||
Die Eigenwerte Λi einer Matrix erhält man durch Lösen von | det((a) - λ ⋅ (e)) = 0. |
Die Eigenvektoren i erhält man durch Lösen von | ((a) - λi ⋅ (e)) ⋅i = . |
| (1.5) |
Hilfen: | f(t) ⋅ sin(at) | ∘-∙ | ⋅ (F(s - ja) - F(s + ja)) |
f(t) ⋅ cos(at) | ∘-∙ | ⋅ (F(s - ja) + F(s + ja)) | |
⋅ e±at | ∘-∙ | (p ± a)-n | |
Wege zur Berechnung des Umkehrintegrals ∫ c-j∞c+j∞est ⋅ F(s)ds.
Es sei m die Anzahl der Polstellen von F(s) mit maximalem Grad n.
Vorraussetzungen: Es sei lims→∞|F(s)| = 0, f(t) = 0 für m < 0, dann gilt:
In der linken Spalte ist die Zielfuntion angegeben in der zugehörigen Zeile die jeweiligen Ausgangsfunktionen und deren Berechnungsvorschrift zur Erreichung der Zielfunktion.
| (1.6) |
| (1.7) |
| (1.8) |
Vorraussetungen:
| (1.9) |
Definition:
Vorraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet |z| > R und limz→∞F(z) < ∞
mit Residuum:
mit Laurent Reihe: Der Integrant f(z) ⋅ zn-1 wird in eine Laurent Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient -1 der Lauren Reihe, also f(nτ) = A-1.
Bei der Entwicklung in eine Reihe sind folgende Beziehungen nützlich:
Beispiele:
Bei wesentlicher Singularität:
Es sei fn = f(nτ), dann gilt:
| (1.17) |
Autor: Thomas Block
In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundlagen dargestellt, die notwendig sind, um dreidimensionale Objekte mit Hilfe eines Computers grafisch darzustellen und zu animieren. Die mathematischen Grundlagen sind in /86 Ba./ und /87 Pl./ zu finden.
Man unterscheidet in der Mathematik zwischen geometrischer Transformation und Koordinatentransformation. Beide Transformationen lassen sich dabei durch Bilden der Inversen ineinander überführen.
Als Schreibweise von Vektoren und Matrizen wurde in diesem Kapitel die in der Computergrafik übliche übernommen. D.h. Vektoren sind ohne sonstige Anmerkung als Zeilenvektoren = (x,y,z) definiert. Matrizen werden deshalb rechts anmultipliziert. Möchte man die übliche mathematische Schreibweise benutzten, so sind alle Vektoren und Matrizen zu transponieren. Sind z.B. M1,M2Mi Matrizen, so gilt : (M1 ⋅ M2Mi)T = MiT M2T ⋅ M1T
Bei der geometrische Transformation überführt man eine Menge von Punkten mit den Koordinaten (xi,yi) durch eine mathematische Operation in eine Menge von Punkten mit den neuen Koordinaten (xi′,yi′). Durch eine solche Transformation kann man also ein Objekt O in ein Objekt O’ überführen (Abbildung 2.1.1). Eine solche Operation stellt z.B. eine Multiplikation eines Vektor mit einer Matrix dar. Der Vektor enthält dabei die Punktkoordinaten und die Matrix die gewünschte Transformationsart.
Geometrische Transformation Für die Computergrafik wichtige Transformationen sind dabei die Translation, Rotation und Skalierung. Die zugehörigen Matrizen sehen dazu wie folgt aus :
| (2.1) |
| (2.5) |
Durch Verketten dieser drei Operationen lassen sich sehr komplexe Transformationen aufbauen, in der alle für die Computergrafik relevanten Objektbewegungen ausgeführt werden können.
Eine Verkettung, die oftmals benutzt wird, ist die Rotation um eine beliebige aber bekannte Achse im Raum mit dem normierten Achsvektor . Diese Rotation kann vereinfacht berechnet werden durch:
| (2.6) |
Bei dieser Transformation wird nicht ein Objekt zu einem neuen Ort überführt, sondern ein und dasselbe Objekt in einem neuen Koordinatensystem beschrieben. Eine Menge von Punkten mit den Koordinaten (xi,yi) im Koordinatensystem K wird durch eine mathematische Operation in eine Menge von Punkten mit den neuen Koordinaten (xi′,yi′) im Koordinatensystem K’ (siehe Abbildung 2.1.2) beschrieben.
Koordinatentransformation
Gegeben sei der n-dimensionale Vektor bezüglich der Basix , also = x1 ⋅ + + xn ⋅. Gesucht ist die Transformation T, die bezüglich der neuen Basis darstellt, also
| (2.7) |
Die Inverse Matrix, die gebildet wird aus den Einheitsvekoren der neuen Basis, erfüllt diesen Sachverhalt, man erhält also :
| (2.8) |
Auch hier finden wir als Grundoperationen die Translation, Rotation und Skalierung wieder, die wie folgt aussehen.
| (2.9) |
| (2.13) |
, mit Sx,Sy,Sz ∈ℜ
Wie man in den vorhergehenden Abschnitten erkennt, gibt es für die Translation und den übrigen Transformationen keine einheitliche Darstellung. Die Translation wird durch Addition (Subtraktion) eines Vektor gebildet, die übrigen Transformationen durch Multiplikation mit einer Matrix. Um eine einheitliche Darstellung zu erreichen, führt man die homogenen Koordinaten ein. Dabei wird einem 3D Punkt (x,y,z) ein Quadrupel (x*,y*,z*,w) zugeordnet. Die Koordinaten lassen sich mittels
| (2.17) |
| (2.18) |
| (2.22) |
Liegt eine Gleichung in Vektorform vor, soll aber als Gleichung mit einer homogenen Matrix dargestellt werden, so ist folgende Beziehung sehr hilfreich:
Die Vektoren , haben dabei die Dimension 3.
Es existieren zwei verschiedene Projektionsarten, die in noch weitere Spezialfälle unterteilt werden. Zum einen ist dies die parallele Projektion, zum anderen die zentrale oder perspektivische Projektion. Die Projektionsarten sind dabei, wie in Abbildung 2.3 aufgeführt, unterteilt :
Projektionsarten
Bei der Zentralprojektion wird ein Teilgebiet eines dreidimensionalen Raumes in ein Ebene projeziert. Diese Abbildung bildet die natürlichen Sehvorgänge des menschlichen Auges nach. Der Mittelpunkt der Auglinse befindet sich dabei im Projektionszentrum, die Netzhaut entspricht hierbei der Projektionsebene, die im Abstand z0 vom Augpunkt entfernt liegt.
Zentralperspektive 1
Zentralperspektive 2
Abbildung 2.3.1 zeigt die Projektion eines Punktes P. Das Projektionszentrum liegt dabei im Abstand v vom Ursprung. Die Projektionsebene liegt parallel zu x,y Ebene. Mit Hilfe der Strahlensätze folgt :
| (2.33) |
Das Gehirn des Menschen korregiert dabei das gespiegelte Bild, so daß es nicht mehr auf dem Kopf steht. Durch die Korrektur erhält man die Projektion nach Abbildung 2.3.1. Legt man den Augpunkt in den Ursprung, so gilt :
| (2.36) |
Zentralperspektive 3
Man kann aber auch die Projektionsebene auf die x-,y-Ebene legen (Abbildung 2.3.1), dann erhält man :
| (2.39) |
Aus der perspektivischen Transformation nach (6.26) lassen sich einige Eigenschaften ablesen :
Bei der Parallelprojektion werden Objekte parallel zu einer Projektionsrichtung auf die Bildebenen abgebildet. D.h. man findet die Bildpunkte als Schnittpunkte der Bildebene mit dem Projektionsstrahl, der vom Objektpunkt parallel zur Projektionsrichtung verläuft. Liegt dabei der Projektionsstrahl senkrecht zur Bildebene, so handelt es sich um die orthogonale Projektion. Ist die Projektionsrichtung parallel zu einer der drei Hauptachsen, so werden Auf-, Grund- und Seitenrisse dargestellt. Axonometrische Projektionen sind orthogonale Projektionen, bei denen die Projektionsrichtungen nicht parallel zu eine der drei Hauptachsen liegt. Nichtorthogonale parallele Projektionen werden schiefe Parallelprojektion genannt. Die Matrix für die allgemeine Parallelprojektion eines Punktes auf eine vorgegebene Bildebene mit Normalenvektor und Ebenenpunkt 0 in Richtung eines gegebenen Projektionsstrahles lautet :
Im folgenden werden einige Projektionsmatrizen für Spezialfälle der Parallelprojektion auf die x-, y- Ebene aufgeführt.
Die orthogonale Projektion auf die x-,y- Ebene erhält man durch weglassen der z- Komponente, also durch die Gleichung
| (2.45) |
.
Die Matrix der Kabinettprojektion (Projektionsrichtung 30 Grad zur x-Achse, Kürzung der z-Komponente um den Faktor 2) lautet :
| (2.46) |
Die Matrix der Kavalierprojektion (Projektionsrichtung 45 Grad zur x-Achse) lautet :
| (2.47) |