1.1 Regressionsrechnung

1.1.1 Kreisregression

Gesucht ist der Kreis, der auf eine Anzahl von Meßpunkten am besten passt. Ein Kreis mit Mittelpunkt (x_o, y_o) und Radius r lässt sich beschreiben durch:

$$r^2 - x^2 {, \quad mit}$$ y² =

y = y_i - y_o,

x = x_i - x_o (1.1)

Um die Unbekannten (x_o, y_o) und r zu ermitteln, wird das Minimum des quadratischen Fehlers der Kreisgleichung zu allen Meßpunkten ermittelt: $\sum \left( r^2 - x^2 - y^2 \right) ^2 = MIN$
(Anmerkung: Die eigentliche Vorschrift lautet $\sum \left( f (x_i) - y_i \right) ^2 = MIN$, die Betrachtung von $\sum \left( f (x_i)^2 - y_i^2 \right) ^2 = MIN$ ist aber einfacher zu lösen und führt auch zum Ziel!) Eine notwendige Bedingung für ein Minimum ist, daß die erste partielle Ableitung nach r, x_o, y_o Null ist, also:

   

$$\frac{\delta}{\delta r} \sum (r^2 - x^2 - y^2)^2$$ = 0 (1.2)

$$\frac{\delta}{\delta x_o} \sum (r^2 - x^2 - y^2)^2$$ = 0 (1.3)

$$\frac{\delta}{\delta y_o} \sum (r^2 - x^2 - y^2)^2$$ = 0 (1.4)

Aus Gleichung 1.2 folgt demnach für $r \neq 0$:

$$\sum (r^2 - x^2 - y^2) = 0 \\$$ (1.5)

Dies in 1.3 und 1.4 eingesetzt und ausmultipliziert, ergibt:

  

$$\sum x_i \cdot \left( \right. \sum x_i^2 - 2 x_o \sum x_i + nx_o^2 + \sum y_i^2 - 2 y_o \sum y_i + ny_o^2$$

$$n \left( x_i^2 - 2 x_i x_o + x_o^2 \right) - n \left. \left( y_i^2 - 2 y_i y_o + y_o^2 \right) \right) \quad = \quad 0$$ - (1.6)

$$\sum y_i \cdot \left( \right. \sum x_i^2 - 2 x_o \sum x_i + nx_o^2 + \sum y_i^2 - 2 y_o \sum y_i + ny_o^2$$

$$n \left( x_i^2 - 2 x_i x_o + x_o^2 \right) - n \left. \left( y_i^2 - 2 y_i y_o + y_o^2 \right) \right) \quad = \quad 0$$ - (1.7)

Nach den Unbekannten geordnet, erhält man folgendes Gleichungssystem:

$$\bf x_o \it\cdot \sum x_i \left( 2nx_i - 2\sum x_i \right) + \bf y_o \it\cdot \sum x_i \left( 2ny_i - 2\sum y_i \right)$$

$$\sum x_i \left( nx_i^2 + n y_i^2 - \sum x_i^2 - \sum y_i^2 \right)$$ = (1.8)

$$\bf x_o \it\cdot \sum y_i \left( 2nx_i - 2\sum x_i \right) + \bf y_o \it\cdot \sum y_i \left( 2ny_i - 2\sum y_i \right)$$

$$\sum y_i \left( nx_i^2 + n y_i^2 - \sum x_i^2 - \sum y_i^2 \right)$$ = (1.9)

Hieraus erhält man schließlich für den optimal angepaßten Kreis:

$$\sum x_i \left( 2nx_i - 2\sum x_i \right)$$ a = (1.10)

$$\sum y_i \left( 2nx_i - 2\sum x_i \right)$$ b = (1.11)

$$\sum x_i \left( 2ny_i - 2\sum y_i \right)$$ c = (1.12)

$$\sum y_i \left( 2ny_i - 2\sum y_i \right)$$ d = (1.13)

$$\sum x_i \left( nx_i^2 + n y_i^2 - \sum x_i^2 - \sum y_i^2 \right)$$ e = (1.14)

$$\sum y_i \left( nx_i^2 + n y_i^2 - \sum x_i^2 - \sum y_i^2 \right)$$ f = (1.15)

$$\frac{de - cf}{ad - bc}$$ x_o = (1.16)

$$\frac{af - be}{ad - bc}$$ y_o = (1.17)

$$\sqrt{\frac{1}{n} \sum (x^2 + y^2)}$$ r = (1.18)

1.1.2 K(1-e^-ft)

Gesucht ist die Sprungantwort eines Systems 1. Ordnung, wobei die Zeit in äquidistanten Punkten aufgenommen wird. Die Funktion e^-ft kann dann umgeformt werden zu $e^{-ft} = e^{-fnT} = fT \cdot e^{-n}$. Es gilt:

$$\sum (y_i - f(x_i))^2 = Min.$$

$$\sum (y_i - K(1-fTe^{-n})^2 = Min.$$ (1.19)

Dies partiell nach den unbekannten K und f abgeleitet und umgeformt, ergibt:

 

a_i = e^-n

$$\frac {\delta}{\delta f} \sum (y_i - K(1-fTa_i)\cdot a_i = 0$$ :

$$\Leftrightarrow f = \frac {\sum a_i}{T \sum a_i^2} - \frac {\sum y_i a_i}{KT \sum a_i^2}$$ (1.20)

$$\frac {\delta}{\delta K} \sum (y_i - K(1-fTa_i) + \sum (y_i - K(1-fTa_i)\cdot f T a_i= 0$$ :

$$\rightarrow K = \frac {\sum y_i}{n -fT \sum a_i}$$ (1.21)

Für f ergibt sich somit:

$$\begin{array}[t]{llllll} a &=& \frac {e - e^{-n}}{e - 1} & b... ...Ta} & K &=& \frac {\sum y_i a_i}{a - f T b} \\ \end{array}$$ (1.22)